I study

現在行っている研究の紹介です。

Hybrid Logic

Hybrid logicは、様相論理を拡張した論理です。Hybrid logicでは、通常の命題変数に加えて、「可能世界のうちただ一点で成り立つ」という特殊な命題変数を導入します（これをnominalと呼びます）。この特殊な命題変数とそれに伴う種々の論理記号を導入することによって、次のような利点が得られます。

• Kripkeモデルの性質をより豊かに表現できます。 非反射性（すべての可能世界は、自分自身に到達関係がつかない）は、様相論理の論理式では定義できず、hybrid logicに拡張してはじめて定義できる性質の例です。 また、豊かな定義可能性をを生かし、hybrid logicを用いてグラフ理論を分析する研究もあります(Benevides & Schechter, 2009)。
• 「可能世界のうちただ一点で成り立つ命題」は、現実世界におけるさまざまな概念に対応します。 たとえば、時間概念における「瞬間」、あるいは人間関係における「個人」を、nominalで表すことができます。 実際に、hybrid logicを用いて「友人関係」のモデルを与える研究もあります(Seligman et al., 2011)。
• 適当な制限を加えれば、hybrid logicにおいても決定可能性が成り立ちます。 決定可能性とは、「与えられた論理式がその論理の定理かどうかが、有限時間で判定できる」という性質です。 様相論理はこの性質が成り立っていますから、その意味では様相論理の「よい拡張」とも言えます。

より詳しくは、こちらのページをご覧ください。

Hybrid Logic (Stanford Encyclopedia of Philosophy)

現在の研究

現在は、種々のhybrid logicに対してその決定可能性を調べています。

論理の決定可能性を調べるにはさまざまな方法がありますが、私はタブロー計算を構築することで決定可能性を示す、というアプローチをとっています。 タブロー計算は、証明可能な命題に証明を、証明不可能な計算には反例モデルを与えられる道具です。 また、容易に証明を与えられるという点で優れた証明体系でもあります。

将来的には、「世界にある様々な仕組みをロジックの言葉で表現する」ような研究をしたいです。 Hybrid logicは、その道具立てとして非常に有用なものであると考えています。